データの活用

１１　場合の数４　（略解）

１	同志社国際高校　（Ｒ５年）　★★★	４	帝京高校　（Ｒ７年）　★★
右の図のような正十二角形がある。その12個の頂点から4点を選び,それらを結んで四角形をつくる。 (1) できた四角形の1つの辺がBCであり,その四角形が長方形か台形である場合は何通りあるか。 【解】 BCと平行…AD, LE, KF, JG, I H BCと対称…AL, LK, KJ, JI, I H, HG, GF, FE, ED 　I Hは重複するから,5＋9－1＝13通り (2) できた四角形の1つの辺がACであり,対角線のなす角が45°である場合は何通りあるか。 【解】円周角の和が45°か135°になればよい 残り2点はDE,EF,FG,GH,HI,IJ,JK,KL,DK,ELの 10通り		1から5までの番号のついた5枚のカード1,2,3,4,5がある。 (1) 3枚のカードを取り出すとき,この中に,偶数の力一ドか少なくとも1枚入っている場合は何通りあるか。 【解】(5枚から3枚)－(すべて奇数) (5×4×3)÷(3×2)－1＝10－1＝9通り (2) 3枚のカードを取り出し,これを並べて3桁の整数を作るとき,各位の数の和が3の倍数である場合は,何通りあるか。 【解】取り出す3数は次の4通り 和が6…(1,2,3)　和が9…(1,3,5) (2,3,4)　和が12…(3,4,5) 　各取り出し方で6数作れるから,6×4＝24通り
２	成城学園高校　（Ｒ７年）　★★	５	享栄高校　（Ｒ７年）　★★
図のように0,1,1,2,3の数字が書かれたカードが5枚ある。この中から3枚のカードを選び,それらを並べて3けたの整数をつくるとき,2の倍数は何個できるか。　　　0⃣ 1⃣ 1⃣ 2⃣ 3⃣ 【解】 ・百位が1…一位は0か2で,2×3＝6通り ・百位が2…一位は0で,2通り ・百位が3…一位は0か2で,2×2＝4通り 　よって,6＋2＋4＝12通り		1から９までの9個の数字から異なる3個の数字を遊び,3桁の整数をつくる。3個の数字を選びかえてできる整数のうち最も大きい数をA,最も小さい数をBとする。 　例えぱ1,2,3を選んだとき,A＝321.B＝123となる。 　このとき,A－B＝495となる3個の数字の選び方は[　　]通りある。 【解】A－B＝(100x＋10y＋z)－(100z＋10y＋x)＝99(x―z) 　　＝99×5より,x－z＝5 (x,y,z)＝(6,5～2,1) (7,6～3,2) (8,7～4,3) (9,8～5,4) 　4×4＝16通り
３	福知山成美高校　（Ｒ７年）　★★	６	共立女子第二高校　（Ｒ７年）　★
右の図のように,同一円周上に4個の点0,1,2,3がある。１個のさいころをＡさん,Bさんの順に１回ずつ振り,出た目の数だけ時計回りに進む。Ａさんは,０の位置からスタートし,Bさんは,2の位置からスタートするとき, (1) ＡさんとＢさんが同じ数字の位置にいる場合は何通りあるか答えなさい。 位置 1 2 3 4 5 6 A 1 2 3 0 1 2 B 3 0 1 2 3 0 【解】同じ位置にいる目の出方(A,B)は 0の位置…(4,2) (4,6)　1の位置…(1,3) (5,3) 2の位置…(2,4) (6,4)　3の位置…(3,1) (3,5) 　よって, 2×4＝8通り (2) ＡさんがＢさんより大きい数字の位置にいる場合は何通りあるか答えなさい。 【解】Ｂさんの位置(0～2)で場合分け ・B0,A1～3の位置…(Bは26, Aは12356)で5×2＝10通り ・B1,A2～3の位置…(Bは3, Aは236で1×3＝3通り ・B2, A3の位置　　…(Bは4 Aは3)で1通り 　よって, 10＋3＋1＝14通り		3人が1回じゃんけんをするとき,2人だけが勝つ勝ち方は全部で何通りありますか。 【解】 誰が勝つかは,3通り どの手で勝つかは3通り 　よって,3×3＝9通り
		７	中央大杉並高校　（Ｒ７年）　★★★
		A,Bの袋と12,3,4,5,6,7と書かれた球が1つずつあります。球に書かれた数の合計が等しくなるように,袋Aに3つ,袋Bに4つの球を入れました。 (1) 袋A,Bへの球の入れ方は何通りあるか答えなさい。 【解】A3球の和＝B4級の和＝14 (A,B)＝(167,2345) (257,1346) (347,1256) (356,1247)の4通り (2) 袋A,Bのいずれかに入っている4と書かれた球を取り出し,もう一方の袋に入っている [　　]と書かれた球1つと交換します。その結果,袋Aの中に入っている球に書かれた数の合計と,袋Bの中に入っている球に書かれた数の合計の比は4：3になりました。[　　]に当てはまる数として適切なものをすべて答えなさい。 【解】A3球の和＝16, B4級の和＝12 (347,1256)→4と6交換　(257,1346)→4と2交換　　[ 2と6 ]

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