 図形 |
３１ 多面体 （略解） | |
| 図形 |
３１ 多面体 （略解） | |
| １ | 西大和学園高校 （Ｒ７年） ★★ | ４ | 慶應義塾志木高校 （Ｒ６年） ★★★ | |||||||
 底面の正六角形の一辺の長さが2であり,側面の長方形の面積が4 である正六角柱について考える。図のように頂点A,B,C,Dをとり,AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。(1) 正六角柱の体積を求めよ。 【解】側面(長方形)の高さ＝2 底面(正六角形)＝  ×22×6＝6体積＝6 ×2＝36(2) 線分ABの長さを求めよ。 【解】△ABCで,AB＝√(2√3)2＋2(√3)2＝2   (3) 線分MNの長さを求めよ。 【解】平面図で考える △ACDで,MN＝  AD＝ (4) 四面体BCMNの体積を求めよ。 【解】△PMN＝ ×()2＝ (三角すいC-PMN)＋(三角すいB-PMN) ＝(  ××)×2＝ |
多面体の各頂点に集まる各辺を3等分する点のうち,頂点に近い方の点をすべて通る平面で立体を切り,頂点を含む角錐を取り除いて新 しい立体を作る操作を［操作1］とする。例えば図1の正四面体に［操作1］をすると,図2のような立体ができる。(1) 図3のような1辺の長さが9の正八面体に［操作1］をしたときにできる立体の体積V1を求めよ。 【解】 正四角錐P-ABCD=  ×92×  ＝(243/2)…ア切り取る小四角錐＝ア×  ＝…イ体積V1＝ア×2－イ×6＝243 －27＝216 (2) (1)でできた立体に対して,さらに［操作1］をしたときにできる立体の体積V2を求めよ。 【解】図2(切頂八面体)は,正方形6,正六角形8,頂点14 切り取る小三角錐＝ ×( ×12)× ＝ 体積V2＝V1－ ×24＝214 |
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| ２ | 神奈川県立高校 （Ｒ７年） ★★ | ５ | 筑波大附属駒場高校 （Ｒ５年） ★★★ | |||||||
 この四角柱において,3点I,J,Kを結んでできる 三角形の面積 [ ]cm2である。【解】△IML≡△IMJ≡△JML △IJLは1辺6 の正三角形で, 面積＝ ×(6)2＝18△IJK＝△IJL× ＝18×＝ cm2 |
 (1) 面が一辺10cmの正方形で,側面が一辺10cmの正三角形である正四角すいの体積【解】 体積＝ ×102×5＝(500)/3(2) 一辺10cmの正方形6個と一辺10cmの正六角形8個で作られた多面体(切頂八面体という)の体積 【解】一辺30cmの正八面体－(1)×6
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| ３ | 洛南高校 （Ｒ５年） ★★★ | ６ | 早稲田大高等学院 （Ｒ５年） ★★★ | |||||||
 (1) すべての辺の長さが2の正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。(ｱ) △AELの面積(右図) 【解】二等辺三角形  △AEL＝×2× ＝ (ｲ) 四面体AEILの体積 【解】(三角錐A-MLI)－(三角錐E-MLI) 体積＝2( ×4×2)××＝ (2) (ｱ) 手順①で通過する面積  【解】△AGE＋扇形GEE'(右上図)面積＝ ×2×2＋42π× ＝2＋4π(ｲ) 手順①～④で曲線の長さの和 【解】 手順②＝8π×  ＝ π 手順③＝4π×＝ πEが描く曲線PE＝√22＋(√3)2＝   手順④＝2π×＝π長さの和＝(2＋ ＋＋)π
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(1) 多面体P(正四角反柱という)の表面積 【解】正方形2個＋正三角形8個  表面積＝12×2＋ ×12×8＝2＋2(2) 断面の図形の面積 【解】1辺 の正八角形断面積＝( ＋ ×2)2－×()2×4＝(＋1)/2(3) 周の長さを求めよ。 【解】四角形DGEA 周の長さ＝ ＋1×3＝＋3 (4) h2の値を求めよ。 【解】h＝APとする △EHKで, (√2x＋x)2＋x2＝12 x2＝1/(4＋2 )△APMで,h2＝AM2－PM2＝AM2－(PE2－EM2) ＝(  )2－2x2＋()2＝1－2x2＝ |
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