 図形 |
２８ 展開図・投影図 （略解） | |
| 図形 |
２８ 展開図・投影図 （略解） | |
| １ | 東北学院高校 （Ｒ５年） ★ | ４ | 山形県立高校 （Ｒ５年） ★ | |||
 図は,ある立体図形の展開図です。この展開図を組み立ててできる立体の体積を求めなさい。【解】方錐(底面が正方形の四角錐) 底面は1辺2cmの正方形 高さは2cm 体積＝  ×22×2＝ cm3 |
 右の図は,投影図の一部である。この図から考えられる立体の見取図として適切でないものを,次のア～工から1つ選び,記号で答えなさい。【解】イ 左図の赤線が必要 |
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| ２ | 青山学院高等部 （Ｒ７年） ★★ | ５ | 中央大附属高校 （Ｒ７年） ★ | |||
 (1) 図のように,1辺が2cmの正四面体の展開図がある。この展開図を組み立てた四面体におけるACの長さと△ABCの面積を求めよ。点Cは辺の中点である。【解】AC(1辺2の正三角形の高さ)＝  cmCM＝√(√3)2－12＝  より,△ABC＝  ×2×＝ cm2 (2) 図のように,1辺が2cmの正方形と正三角形でできた九面体の展開図がある。この展開図を組み立てた九面体における△ABCの面積を求めよ。【解】△ABCで,BC＝2 ,AF＝△ABC＝ ×2×(＋2)＝(2＋2)cm2 |
 次の投影図において,曲線の部分は中心角が90°のおうぎ形の弧である。(1) この立体の体積を求めなさい。 【解】四角柱－円柱×  体積＝(8×15－82π× )×10＝1200－160π(2) この立体の表面積を求めなさい。 【解】底面積＝8×15－82π× ＝120－16π…ア側面積＝(15＋8＋7＋16π× )×10＝300＋40π…ｲ表面積＝ア×2＋イ＝540＋8π |
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| ３ | 筑波大駒場附属高校 （Ｒ６年） ★★★ | ６ | 洛南高校 （Ｒ７年） ★★★ | |||
 図は,ある立体Kの展開図です。立体Kのすべての面は正三角形または正方形であり,辺の長さはすべて3cmです。図のなかの4点A,B,C,Dは,それぞれ立体Ｋの頂点を表しています。この展開図を組み立ててできる立体Kについて,  (1) 立体Kの体積を求めなさい。必要があれば,立方体の見取図を用いて考えなさい。【解】立方八面体(8つの角をカット) K＝立方体－三角錐×8 ＝(3√2)3－ × ×（ √2）3×8＝45(2) 線分ACの長さを求めなさい。 【解】△ACEで,AC2＝CE2＋EF2＋AF2 ＝( √2)2＋(3√2)2＋(√2)2＝27より, AC＝3√3 (3)三角すいA-BCDの体積を求めなさい。 【解】底面BCDに垂直な面HIFGで考える Aから△BCDへの垂線AJ(高さ)を求める △DKIで,DK＝{ √( √2)2＋()2}＝√3 △ADJ∽△DKI(相似比√3：6)より,AJ＝ √2×6÷√3＝2√6体積＝ ×(×3×√3)×2√6＝ |
 図のようにすべての辺の長さが2の正四角錐O-ABCDがあります。辺OB上を点Pが,辺OC上を点Qがそれぞれ動きます。辺CDの中点をMとします。(1) 正四角錐O-ABCDの体積を求めなさい。 【解】△OACで,OH＝  体積＝ ×22×＝ (2) Mから△OABに下ろした垂線の長さを求めなさい。 【解】OM＝ON＝  △OMN＝ ××MK＝×2×より,MK＝   (3) 折れ線AP＋PQ＋QMの長さが最小になるとき，(ア) AP＋PQ＋QMの長さを求めなさい。 【解】展開図のAPQMが一直線のときで,∠ACM＝60＋30＝90° △ACMで,APQM＝√(2√3)2＋12＝  (イ) 4点B,M,P,Qを頂点とする立体の体積を求めなさい。  【解】OP＝OB,OQ＝OC
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