図形	２７　回転体　（略解）

１	広島大附属高校　（Ｒ７年）　★	４	埼玉県立高校　（Ｒ６年）　★
右の図のような直方体があります。三角形AEGを,対角線ＡGを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。 【解】△AEGは等辺5の直角二等辺三角形 体積＝{×（）2π×}×2 　＝(125/6)πcm3		右の図のようなAB＝AC＝2cm,∠BAC＝90°の△ABCがあり,頂点Cを通り,辺BCに垂直な直線/をひきます。このとき,△ABCを,直線/を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。 【解】大円錐−小円錐×2 体積＝×(2√2)2π×2√2−×(√2)2π×1×√2＝4√2πcm3
２	早大本庄高等学院　（Ｒ５年）　★★★	５	青雲高校　（Ｒ７年）　★★
原点を0とする座標平面上に点A(√3,0), B(√3,1)がある。0≦t≦√3に対して,P(t,0), Q(t−√3,0), R(t−√3,1)をとる。直線PRと直線OBの交点をCとする。5つの線分で囲まれる部分の図形を,x軸を軸として一回転させてできる立体をMとする。 (1) 点Cの座標をtを用いて表せ。 【解】 Cのx座標＝(√3＋t−√3)÷2＝t/2 ∠AOB＝30°より,Cのy座標＝(t/2)×＝t 　C(t/2,t) (2) 立体Mの体積Vをtを用いて表せ。 【解】円すい台(ABCHの回転体)×2 △COH∽△BOA(比ｔ:2√3)で,体積比はt3:24√3 V＝(×12π×√3)× 24√3−t3 ×2＝ 24√3−t3 π 24√3 36 (3) 立体Mの表面積Sをtを用いて表せ。 【解】OB＝2 S＝・2π・2{1−(t/2√3)2}×2＋12π×2 　＝4π(1− t2 )＋2π＝ 18−t2 π 12 3		右の図は,∠Cを直角とする直角二等辺三角形ABCと辺BCを直径とする半円をつないだものであり,AC＝BC＝3cmである。この図形を直線BCを軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。 【解】立体＝半球＋円すい台 体積＝π×()3×＋×33π(1−) 　＝π＋(63/8)π＝(81/8)πcm3
		６	西大和学園高校　（Ｒ７年）　★★
		図のような,一辺の長さが1の正六角形ABCDEFをAD を回転の軸として1回転してできる立体の体積は[あ　　]である。また,BCを回転の軸として1回転してできる 立体の体積は[い　　] である。ただし,円周率はπとして計算すること。 【解】BF＝ あ＝円すい(高さ)×2＋円柱(高さ1) 　＝{×()2π×}×2＋()2π×1＝π い＝円すい台(高さ)×2＋円柱(高さ1)−円すい(高さ)×2 　＝{×()2π×1×}×2＋()2π×1 　　　−{×()2π×}×2 ＝π＋3π−π＝π
３	慶應義塾高校　（Ｒ５年）　★★★	６	市立堀川高校　（Ｒ６年）　★★
辺BC直径とする半径１の円０と辺BCを斜辺とする直角二等辺三角形ABCがある。 (1) 通った部分の立体の体積を求めよ。 【解】Gは重心で,AG＝ (△ABOの回転体)−(△ADGの回転体)で, 体積＝(12π)−()2π×＝(5/18)π (2) 通った部分の立体の表面積を求めよ。 【解】(半径ACの半球)−(△ABCの回転体)で, 表面積＝(半球の曲面積)＋(円錐の側面積) 　＝4π(√2)2×＋22π× 2√2π ＝(4＋2√2)π 4π		図のように,1辺の長さが2である正方形ABCDがある。辺ADの中点をE,辺BCの中点をFとする。 (1) 正方形ABCDを,直線CDを回転の軸として1回転させたとき,四角形ABFEが通過してできる立体の体積を求めなさい。 【解】大円柱−小円柱 体積＝(22−12)π×2＝6π (2) 正方形ABCDを,直線ACを回転の軸として1回転させたとき,四角形ABFEが通過してできる立体の体積を求めなさい。 【解】赤円錐：青円錐＝23：13＝8:1 体積＝(大円錐×2)× 　＝×(√2)2π×√2×2×＝√2π×＝√2π

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