図形	２５　円柱・円すい　（略解）

１	芝浦工大附属高校　（Ｒ６年）　★	５	静岡県立高校　（Ｒ５年）　★★
右の図のように,母線の長さが10cmの円すいを平面上ですべらないように転がしたところ,ちょうど5回転してもとの位置に戻った。このとき,円すいの表面積を求めなさい。 【解】円錐の底面半径をrとすると, 移動円周＝2r×5＝20πで,r＝2 表面積＝×4π×10＋22π＝24πcm2		△ODFの面積を求めなさい。　 【解】AO＝√62−32＝3√3 △DOEで,DO2＝(√3)2＋()2より, 　DO(等辺)＝3 △DFEで,DF2＝(√3)2＋(√3)2より, 　DF(底辺)＝√6 △ODFは二等辺三角形で,高さは√10 　よって,×(√6)×(√10)＝√15cm2
２	法政大高校　（Ｒ４年）　★	６	桃山学院高校　（Ｒ６年）　★
図は,円柱を2つの平面で切断してできた立体である。この円立体の体積を求めなさい。 【解】右図参照 体積＝32π(3×＋5＋2×) 　＝9π×＝(135/2)π 【別解】切頭円柱＝底面積×高さの平均 体積＝32π× 7＋8 ＝ 135 π 2 2		右の図の立体Aは,半径が3cmの半球と底面の半径が3cmで母線の長さが5cmの円すいを合わせたものです。また,立体Bは底面の半径が3cmの円柱です。立体Aと立体Bの体積が等しくなるときの立体Bの高さを求めなさい。 【解】Bの高さをhとすると, B＝32π×h＝9πh　…ア A＝π×33÷2＋×32π×4＝30π…イ ア＝イより,9πh＝30πで, h＝10/3cm
３	日本大習志野高校　（Ｒ６年）　★★	７	埼玉県立高校　（Ｒ７年）　★★
右図のように底面の半径が6cm,高さが8cmの円錐Aがあり,底面は平面P上にある。 (1) 円錐Aの側面の展開図であるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。 【解】母線＝√62＋82＝10cm 中心角をxとすると, 　扇形の弧＝20π×＝12πで, x＝216° (2) 図のように移動させたとき,円錐Ａが通過した部分の立体について,体積と表面積をそれぞれ求めなさい。 【解】立体は上図の円錐(アウ)＋三角柱(イ) 体積＝×62π×8＋(×12×8)×12＝(96π＋576)cm3 円錐の表面積＝×12π×10＋62π＝96π 三角柱の側面積＝(10＋10＋12)×12＝384 　表面積＝(96π＋384)cm2		底面の半径が9cm,高さが15cmの円柱の容器の中に,半径の比が1:2である2つの球O,Pが,次の【条件】をみたして入っているとき,Oの半径の最大値を求めなさい。 ただし,容器の厚さは考えないものとします。 【条件】 　(1) OとPは,互いに接している。 　(2) OとPは,容器のそれぞれ異なる底面に接 している。 　(3) OとPは,容器の側面に接している。 【解】Oの半径をxcm(0＜x＜)とすると, △OPHで,OP＝3x,OH＝18−3x,PH＝15−3x (18−3x)2＋(15−3x)2＝(3x)2 0＜x＜だから, x＝11−2
４	東北学院高校　（Ｒ６年）　★★	８	富山県立高校　（Ｒ７年）　★★
右の図のような,球Oがちょうど入る円錐の容器があります。円錐の底面の半径が8cm,高さが15cmのとき, (1) この円錐の表面積を求めなさい。 【解】母線＝√82＋152＝17cm 表面積＝×16π×17＋82π＝200πcm2 (2) 球Oの半径を求めなさい。 【解】球の半径をrとすると, △POHで,r2＋92＝(15−r)2 　これを解いて,r＝		底面の半径が6cm,母線の長さが12cmの円すいで,底面の円周上に異なる3点P,Q,Rをとる。 (1) 3点P,Q,Rを,円周を3等分するようにとったとき,△PQRの面積を求めなさい。 【解】△PQR(1辺6)＝×(6)2＝27cm2 (2) 3点P,Q,Rを,\(\overset{\frown}{PQ}\):\(\overset{\frown}{QR}\):\(\overset{\frown}{RP}\)＝3:4:5となるようにとったとき,4点A.P,Q,Rを結んでできる立体の体積を求めなさい。 ただし,\(\overset{\frown}{PQ}\),\(\overset{\frown}{QR}\),\(\overset{\frown}{RP}\)は,それぞれ短い方の弧を指すものとする。 【解】△PQRで,PQ＝6,QK＝KR＝3 △PQR＝×(3＋3)×3＝9＋27 高さAO＝6より, 　体積＝×(9＋27)×6＝(54＋54)cm3

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