１	桜美林高校　（Ｒ７年）　★★	４	東海高校　（Ｒ７年）　★★★
図のように,すべての辺の長さが12cmの正四角すいO-ABCDがある。辺OA上に点PをOP:PA＝1:2となるようにとり,点B,C,Pを通る平面と辺ODとの交点をQとする。また,直線BPと直線CQとの交点をRとする。 (1) 線分ORの長さを求めなさい。 【解】対称面四角OREFで考える △ORM∽EFMで,OM:MEより,OR＝2EF＝6cm (2) 点Rと面ABCDとの距離を求めなさい。 【解】△OACで,OH＝√OH2―AH2＝√114−72＝6ｃｍ (3) O,A,D,Rを頂点とする四面体OADRの体積を求めなさい。 【解】体積＝△ADR×OR＝×36×6＝72		右の図のような長方形ABCDを底辺とする四角錐O-ABCDにおいて,AB＝2cm,BC＝4cm,OA＝OB＝OC＝OD＝3cmであり,辺OC,OD上の点Ｐ,ＱはPQCDを満たしている。 (1) 四角錐O-ABCDの体積は[　　]cm3である。 【解】△OBHで,OH＝√32−(√5)2＝2 体積V＝×(2×4)×2＝ (2) 四角錐O-ABPQの体積が四角錐O-ABCDの体積のちょうど半分であるとき,OP＝[　　]cmである。　 【解】四角錐O-ABCD＝(三角錐O-ABQ)＋(三角錐O-CBQ) (1×1×)＋(1××)＝ 　x2＋3x−9＝0(0＜x＜3)より, OP＝ (3−3)/2
２	秋田県立高校　（Ｒ５年）　★★	５	愛知県立高校　（Ｒ７年）　★★★
図１のように,三角柱ABC-DEFの形をした透明な容器に,水を入れて密閉した。この容器の側面はすべて長方形で,AB＝6cm,BC＝8cm,CF＝12cm,∠ABC＝90°である。 　図2のように,四角形FEBCが容器の底になるように,水平な台の上に置きかえたとき,容器の底から水面までの高さを求めなさい。 【解】(右下図参照) 図1で, 　水 の 容積 ＝ 水 の 高さ ＝ 8 ＝ 　容器の体積 容器の高さ 12 図2の△ABCで,AG＝xとすると, 　体積比より,次のようになればよい 　△AGH:△ABC＝x2:62＝1:3 x2＝36÷3＝12で,x＝2√3 　GB＝(6−2√3)cm		図で,立体OABCDは,正方形ABCDを底面とする正四角すいである。また,E,F,G,Hはそれぞれ辺OA,OB,OC,OD上の点で,OE:EA＝2:1,OF:FB＝1:1 であり,CBGF,DAHEである。OA＝12cm,AB＝6cmのとき, (1) △OBDの面積は[　　]cm2である。 【解】△OBMで,OH＝√122−(3√2)2＝3 △OBD＝×6×3＝18cm2 (2) 立体OEFGHの体積は[　　]cm3である。 【解】IJ＝3×＋3×＝ 体積＝三角錐(E-OFH)＋三角錐(G-OFH)＝△OEF×IJ 　＝×6×7/2＝7cm3
３	桐朋高校　（Ｒ６年）　★★★	６	法政大国際高校　（Ｒ６年）　★★★
AB＝1である長方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDで, (1) △OBCの面積を求めよ。 【解】OB＝OC＝AD＝√2で,△OBCは正三角形 △OBC＝×(√2)2＝ (2) 四角錐O-ABCDの体積を求めよ。 【解】∠OAB＝∠DAB＝90°より,高さ＝ 体積＝×(1×√2)×＝ (3) このとき,点Oを含む方の立体の体積を求めよ。 【解】MN⊥△OAD △OMDを底面とする切頭三角柱と考える 　△OMD＝, MN＝ ,DC＝1より, 体積＝底面積×高さの平均＝ 1 × 0＋＋1 ＝ 1 4 3 8		(1) 四角錐A-BCDEの表面積を求めよ。 【解】側面の高さ＝√122−32＝3√15 表面積＝(×6×3√15)×4＋62＝36(√15＋1) (2) 四角錐A-BCDEの体積を求めよ。 【解】△ABDの高さ＝√ { 122−(3√2)2}＝3√14 体積＝×62×3√14＝36√14 (3) このとき,四角形PQRSの面積を求めよ。 【解】PQRSは等脚台形 △PQKで,PK＝3√15×(−)＝√15, 　　QK＝＋2＝ 　PQ＝√ { ()2＋(√15)2}＝√31 △PQHで,PH＝√ { (√31)2−()2}＝√471 PQRS＝×(＋4)×√471＝(11/16)√471

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