 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| １ | 岩手県立高校 （Ｒ５年） ★★★ | ４ | 広島県立高校 （Ｒ７年） ★ |
 AB＝6cm,AD＝5cm,AE＝7cmの直方体(1) 線分AFの長さを求めなさい。 【解】 △AEFで, AF＝√72＋62＝√85cm (2) 四面体AHFPの体積を求めなさい。 【解】直方体－(2つの三角錐)－(2つの四角錐) (赤)三角錐A-EFH＝35 (青)三角錐H-FGP＝10 (緑)四角錐A-DHPC＝60 (柿)四角錐A-BFPC＝60 四面体AHFP＝210－(35＋10＋60＋60)＝45cm3 |
 次の図のように,点A,B,C,D,E,F,G,Hを頂点とする直方体があり,AB＝4cm,AD＝6cm,AE＝3cmです。辺ADの中点を I,辺EFの中点をJとし,点Cと点I,点Iと点J, 点Jと点Cをそれぞれ結びます。このとき,△CIJの周の長さは何cmですか。【解】△CDIで,CI＝5…ア EI ＝3  より,△EIJで IJ＝√(3√2)2＋22＝√22…イCF＝3  より,△CJFでCJ＝√(3√5)2＋22＝7…ウア＋イ＋ウより, 周の長さ＝(12＋√22)cm |
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| ２ | 滝川第二高校 （Ｒ７年） ★★ | ５ | 京華高校 （Ｒ７年） ★★ |
 右の図のような,AB＝4cm,AD＝4cm,ＡE＝8cmの直方体ABCD-EFGHがあります。点Ｆから線分AGに垂線をひき,線分AGとの交点をPとします。(1) 線分AGの長さを求めなさい。 【解】AG＝√42＋4＋82＝4  cm(2) 線分FPの長さを求めなさい。 【解】△AEFで,AF＝√82＋42＝4 △AFG＝  ×4 ×FP＝×4×4より,FP＝  cm(3) 立体P-EFGの体積を求めなさい。 【解】立体を,三角すいE-FGPと考える △FGPで,GP＝√{42－(   )2}＝体積＝  ×(××)×4＝(16/9) cm3 |
 右の図のように直方体ABCD−EFGHがあり,線分EG と線FHの交点をPとする。点Qを辺AE上の点とし,線分 APと線分CQの交点をRとする。APとCQが垂直に交わるとき,(1) APの長さを求めよ。 【解】△AEPで,AP＝√122＋(3√2)2＝9  (2) ARの長さを求めよ。 【解】△AEP(3辺比2 :1:3)∽△CAQ∽△ARQAQ＝3となって, AR＝2 (3) 四角錐F−PRQEの体積を求めよ。 【解】△ARQ∽△AEP(相似比1:3 )より,四PRQE＝△AEF×(1－  )＝18×(17/18)＝17FP＝3 だから,体積＝×17×3＝34 |
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| ３ | 福岡県立高校 （Ｒ６年） ★★ | ６ | 西大和学園高校 （Ｒ６年） ★★★ |
 図は,AB＝8cm,BC＝4cm,AE＝4cmの直方体ABCDEFGHを表している。(1) 辺EF上に点P,辺FG上に点Qを,AP＋PQ＋QCの長さが最も短くなるようにとる。 このとき,線分PQの長さを求めよ。 【解】展開図で,AC＝√82＋122＝4√13  PQ＝ PC＝×( AC)＝4√13× ＝ √13cm(2) 辺ABの中点を I, 辺HGの中点をJとし,四角形EICJをつくったものである。 辺ＥＦ上に点Kを,EK＝KCとなるようにとるとき,四角すいKEICJの体積を求めよ。 【解】EK＝KC＝xとすると,FK＝8－x △CFKで,x2＝(8－x)2＋(4√2)2より,x＝6 四角錐KEICJ＝(三角錐I-EJK)×2＝ △EJK×AE×2＝ (×6×4)×4×2＝32cm2 |
 図のように,底面が一辺の長さ3√2の正方形で,高さが5の直方体がある。点P,Qはそれぞれ辺 BF,辺DH上の点で,FP＝1,DQ＝1である。このときPQの長さは[ア ] である。三角形PACの面積は[イ ]
であり,三角錐PACQの体積は[ウ ] である。【解】 (ア) 直方体の対角線と考えて, PQ＝√ { (3√2)2＋(3√2)2＋32}＝3√5 (イ) BDの中点Oをとると,△PODで,PO＝5  △PAC＝×6×5＝15(ウ) 垂線QHを下ろすとし,OH＝xとすると, QH2＝(√10)2－x2＝(3√5)2－(5－x)2 これを解くと,x＝－1 (鈍角三角形となる) QH＝3で,体積＝ ×15×3＝15 |
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