 図形 |
２１ 立方体 （略解） | |
| 図形 |
２１ 立方体 （略解） | |
| １ | 東京電機大高校 （Ｒ５年） ★★ | ５ | 法政大第二高校 （Ｒ５年） ★★★ |
 １辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。(1) △BEGの面積を求めなさい。 【解】1辺12√2の正三角形 △BEG＝  (12 )2＝72 cm2(2) 線分BD上に,BP:PD＝3:1となる点Pをとり,直線PFと△BEGとの交点をQとします。このとき,線分PQの長さを求めなさい。 【解】BP//FOより,△PQB∽△FQO(比3:2) PF＝√(9√2)2＋122＝√306＝3√34 PQ＝3√34×  ＝ √34cm |
 １辺の長さが8cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AD,CDの中点をそれぞれM,Nとする。(1) 四角形MEGNの面積 【解】MK＝√(4√5)2−(2√2)2＝6  MEGN＝ (4＋8)×6＝72cm2 (2) 点H四角形MEGNまでの距離 【解】PQ＝MK＝6√2 △PQRで,QR＝√(√6)2＋82＝2 △HQS∽△PQR(比2:3)より, HS＝  PR＝×8＝ cm |
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| ２ | 早稲田佐賀高校 （Ｒ７年） ★★★  |
６ | 鎌倉学園高校 （Ｒ７年） ★★ |
 1辺の長さが3の立方体において,辺EF,辺EHの中点をそれぞれM,Nとする。四面体ACMNの体積を求めよ。【解】△PMNで2分割 体積＝  △PMN×(AP＋CP)＝ ( ×3×3)×6＝9 |
 図のように,一辺の長さか6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺AD,CDの中点をそれぞれM,Nとします｡(1) GNの長さを求めなさい。 【解】△CGNで,GN＝√62＋32＝3  cm(2) 立体DMN-HEGの体積を求めなさい。 【解】三角すい台＝三角錐全体×(1−  )(×62)×12× ＝36×＝63cm3 (3) BHと四角形MNGEとの交点をPとするとき,BPの長さを求めなさい。【解】対称面BFHDで考える △KFRで,KR＝√32＋(3√2)2＝3  △OKR∽△OBP(相似比5:6)より,BP＝3 × ＝(18/5) |
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| ３ | 中央大附属高校 （Ｒ７年） ★★★ | ||
 図のように,半径2の球が2つあり,それぞれが立方体の3つの面と接 し,2つの球が互いに外接している。立方体の1辺の長さを求めなさい。【解】1辺をxとして,対称面で2分割 AC＝AP＋PQ＋QC＝2(2 ＋2)＝4＋4△ABCで, x＝4＋4より,1辺x＝4＋ |
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| 4 | 市川高校 （Ｒ６年） ★★★ | ７ | 灘 高校 （Ｒ６年） ★★★ |
 1辺の長さが8の立方体ABCD-EFGHについて,点I は辺BF上に点Ｊは辺CD上に存在し,BI:IF＝CJ:JD＝1:3である。(1) △IGHの面積を求めよ。 【解】IG＝√62＋82＝10 ∠IGH＝90°より,△IGH＝ ×8×10＝40 (2) Jから△IGHに下ろした垂線の足をKとするとき,KJの長さを求めよ。【解】平行面JA'E'H'(上図の青)を考えると,KはH'I'上 △JKH'∽△H'E'I'(辺4:3:5)より,JK＝  JH'＝32/5(3) Kから正方形EFGHに下ろした垂線の足をLとするとき,KLの長さを求めよ。 【解】LはE'H'上 △H'LK∽△JKH'(辺4:3:5)より,KL:JH'＝9:25 KL＝  JH'＝72/25 |
 1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。3点A,C,Fを通る平面と直線BHの交点を I とする。(1) 線分BI の長さは[ ]である・ 【解】BI＝正三角錐B-ACFの高さ Iは△ACF(1辺√2)の重心 AI＝ √6×＝ √6より,BI＝√(1−)＝ (2) .四面体ABCI の体積は[ ]である。 【解】高さ＝ HD＝四面体I-ABC＝ ×(×12)×＝ (3) 四面体ABCI の4つの面すべてに接する球の半径を rとするとき,  の値を求めよ。【解】V＝ Sｒ＝ だから,表面積Sを求めればよい△ABC＝ , △IAB＝△IBC＝ , △IAC＝＝6S＝6(＋＋×2)＝3＋＋2 |
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