図形	１１　正三角形　（略解）

１	日大習志野高校　（Ｒ７年）　★★★	４	滋賀県立膳所高校　（Ｒ５年）　★★
右図のように,１辺の長さが9cmの正三角形ABCがある。3点D,E,Fをそれぞれ辺AB,BC,CA上にとる。AD＝BE＝CF＝5cmのとき, (1) △ADFの面積を求めなさい。 【解】△ABC＝×92＝ △ADF＝△ABC××＝5 (2) △DEFの面積を求めなさい。 【解】△DEF＝△ABC−3△ADF＝−15＝ (3) 線分AEとBFの交点をG,BFとCDの交点をH,CDとAEの交点を I とする。△GHI の面積を求めなさい。 【解】メネラウスの定理(右下隅参照)より,AG：GE＝36:25 △ABG＝△BCH＝△CAI ＝×(36/61)△ABC △GHI ＝{1−(20/61)×3}△ABC＝(1/61)×＝(81/244)		長さの和 PD＋PE＋PF が一定であることを証明し,その長さの和を求めなさい。 【解】右上図参照 1辺6の△ABC＝×62＝9 　　＝△PAB＋△PBC＋△PCA (6x＋6y＋6z)＝9 　3(x＋y＋z)＝9で, x＋y＋z＝3（一定）
		５	城北高校　（Ｒ５年）　★★
		右の図は面積がの正三角形ABCである。線分の長さの和 DE＋DFを求めよ。 【解】△ABCの1辺をaとすると △ABC＝a2＝より,a＝2 BC＝2(x＋y)＝2で,x＋y＝1 よって, DE＋DF＝(x＋y)＝
２	大分県立高校　（Ｒ７年）　★★	６	須磨学園高校　（Ｒ７年）　★★
右の図のような四角形ABCDがあり, △ACDは正三角形である。 また,点Pは△ABCの内部にあり, △APQが正三角形となるように点Qをとる。ただし,点Qは△ACDの内部にあるものとする。 　AC＝5cm,BC＝4cm,∠ACB＝30°とし,線分APと線分BPと線分CPの長きの和をAP＋BP＋CPと表す。 　このとき,点Pの位置によって変化するAP＋BP＋CPの長さが最も小さくなるように,点Pの位置を定めた。 (1) AP＋BP＋CPの長さを求めなさい。 【解】△APC≡△AQD(2辺夾角相等)より,CP＝DQ 最短はBDが一直線になるときで, 　AP＋BP＋CP＝AQ＋BP＋DQ＝BD＝√42＋52＝√41 (2) ∠BPCの大きさを求めなさい。 【解】∠APC＝∠AQD＝120°より,∠QPC＝60° ∠BPC＝180−60＝120°		図のように,1辺の長さが16の正三角形ABCがある。線分BC上にAD⊥BCとなるように点Dをとる。 このとき,点Dを点Aから線分BCに下ろした垂線の足という。同様に,点Eを点Dから線分ACに下ろした垂線の足,点Fを点Eから線分ABに下ろした垂線の足,点Gを点Fから線分BCに下ろした垂線の足とする。 また,線分ADと線分EFの交点を点Pとする。 (1) 線分ADの長さを求めなさい。 【解】△ACDで,AD＝CD＝8 (2) 線分EPの長さを求めなさい。 【解】△EPDは正三角形で,EP＝ED＝4 (3) 四角形FGDPの面積を求めなさい。 【解】四角形FGDP＝(4＋5)×3＝ 　 Bを通って四角形FGDPの面積を2等分する直線をl とする。直線l と線分FGとの交点を点H,直線l と線分PDとの交点を点i とする。 (4) 線分DI の長さと線分GHの長さの比DI：GHを最も簡単な整数の比で表しなさい。 【解】l はFDとGPの交点を通る △BDI∽△BGHより, DI:GH＝BD:BG＝8:5 (5) 線分DI の長さを求めなさい。 【解】HGDI＝(1−25/64)△BDI＝FGDP (39/64)△BDI＝より,△BDI＝(144/13) ×8×DI＝(144/13)より, DI＝(36/13) 　メネラウスの定理(高校内容) △ABCに,直線DEが貫いているとき, 　　ア × ウ × オ ＝1 　　イ エ カ
３	桜美林高校　（Ｒ６年）　★★★
図のような,正三角形ABCがある。△ABCの内部に点Dを,△ABCの外部に点Eを,△BCD≡△BAE となるようにとる。 AD＝4cm,BD＝6cm,∠EAD＝90°のとき, (1) ∠EBD の大きさを求めなさい。 【解】△BAE≡△BCDより,∠EBA＝∠DBC ∠EBD＝∠EBA＋∠ABD＝∠ABC＝60° (2) 線分AEの長さを求めなさい。 【解】△EBDは正三角形で,ED＝6 △AEDで,AE＝√62−42＝2√5cm (3) △ADCの面積を求めなさい。 【解】△ABD≡△ACFとなる点Fをとると, 　∠ADC＝60＋90＝150°(左図の青) 右図のような△AHDを考えて,AH＝2 　△ADC＝×2√5×2＝2√5cm2

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