 図形 |
１０ 内心と内接円 （略解） | |
| 図形 |
１０ 内心と内接円 （略解） | |
| １ | 明治大付属明治高校 （Ｒ５年） ★★ | ５ | 開成高校 （Ｒ５年） ★★★ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
△ABCの内接円の半径をrとするとき, (1) rをa,b,cを用いて表せ。 【解】 BC＝a＝(c−r)＋(b−r)より, r＝  (b＋c−a)(2) △ACDの内接円の半径をa,b,rを用いて表せ。 【解】 △ABC∽△DACより,
(3) 線分PQの長さをrを用いて表せ。 【解】  (2)と同様に,△DBAの内接円の半径＝cr/a
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 AB＝2√2,BP＝1であるとき,(1) AC,PCの長さをそれぞれ求めよ。 【解】APは∠Aの二等分線 PC＝xとおくと, 2√2:AC＝1:xで,AC＝2√2x △ABCで,(2√2)2＋(1＋x)2＝(2√2x)2 これを解いて,x＝  よって, AC＝ √2, PC＝ (2) △PAB,△PACの内接円の半径の比を求めよ。 【解】半径をr1,r2とすると, △ABPで,AP＝√(2√2)2＋12＝3 △ABP＝  (2√2＋1＋3)r1＝×2√2×1で,
(3＋＋ √2)r2＝××2√2で,
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| ２ | 初芝橋本高校 （Ｒ７年） ★ | ６ | 鎌倉学園高校 （Ｒ７年） ★★  |
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 右の図の△ＡBCにおいて∠Aの二等分綻と辺BCの交点をE,∠Bの二等分綻とAEの交点をDとする。このときAD：DEを求めなさい。【解】 AB:AC＝4:5より,BE＝18×  ＝8△BAEで,AD:DE＝BA:BE＝12:8＝3：2 |
 図のように,∠ABC＝90°AB＝9,AC＝18である直角三角形があり,半円が２つ接しています。また,半円どうしも接しています。この２つの半円の面積の和を求めなさい。 【解】円Pは△ADCの内接円で,半径ｒ1＝  ×18＝3 円Qは△EFCの内接円で,半径ｒ2＝ ×6＝よって,  {(3)2π＋()2π}＝15π |
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| ３ | 國學院大久我山高校 （Ｒ６年） ★★ | ７ | 和洋国府台女子高校 （Ｒ６年） ★ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 右の図のような∠A＝90°,AB＝12,AC＝5の直角三角形ABCがある。この三角形の3つの辺すべてに接する円の半径は[ ]である。【解】中心Oから3垂線(半径x)を下ろす BD＝BE＝12−x…ア, CF＝CE＝5−x…イ ア＋イより,(12−x)＋(5−x)＝√122＋52 17−2x＝13で, 半径x＝2 |
 右の図のように,△ABCに内接する円があり,辺BC,CA,ABとの接点を,それぞれP,Q,Rとする。このとき,内接する円の半径を求めよ。【解】中心Oから3垂線(半径r)を下ろす △ABCで,62＋82＝102となり,∠A＝90° □AROQは正方形で, 半径r＝2cm |
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| ４ | 愛光高校 （Ｒ７年） ★★ | ８ | 桐蔭学園高校 （Ｒ７年） ★ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 AB＝AC＝13,BC＝10である△ABCがある。頂点A,B,Cを通る円の半径は[ア ]で,辺AB,BC,CAに接する円の半径は[イ ]である。【解】ア(外接円の半径)をR,イ(内接円の半径)をr とする ア △OBMでAM＝12より,,R2＝(12−R)2＋52で, R＝109/24 イ △ABC＝ (13＋13＋10)r＝×10×12で, r＝10/3 |
 右の図のように,三角形ABCに内接している円Oがあり,その円Oと三角形の辺AB,BC,CAの接点をそれぞれD,E,Fとする。∠CAB＝40°∠BCA＝60°のとき,弧の長さの比は,弧DE：弧EF：弧FD＝[ア：イ：ウ]である。【解】  OFADで,∠O＝140°,OECFで,∠O＝120°弧の長さは中心角に比例するから,100:120:140＝5:6:7 |
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