図形 　８　円と接線　（略解）
１ 筑波大附属高校　（Ｒ５年）　★★★ ４ 市川高校　（Ｒ７年）　★★★
　右の図のように,長さが14cmの線分AB上に点Pをとる。ただし,AP＜BPとする。


(1) 線分ACの長さは,線分DEの長さの(　)倍である。
【解】△ABC∽△EBD(2辺の比と夾角相等)
AC＝DE×(10/5)＝2DEで, 2倍

(2) 線分ARの長さは,AR＝(　)cmである。
【解】AR＝xとすると,
BQ＝BP＝14－AP＝14－x…ア
CQ＝CR＝8－x …イ
ア＋イより,BC＝(14－x)＋(8－x)＝10で
　x＝AR＝6cm

(3) 線分AE,CDの交点をFとするとき,AＦ:ＦEを最も簡単な整数の比で表すと,AF:FE＝(　):(　)である。
【解】∠CAB＝∠DEBで,□ADECは円に内接
AF＝y,FE＝zとすると,
　△FAC∽△FDEより,DF＝y
△ADF∽△CEFより,y:z＝9:3で,y＝6z
　よって, AF:FE＝y:z＝6z:z＝6:1		 　次の図が以下の条件を満たしているとき,
①　△ABCはAB＝8,BC＝7,CA＝5,∠CAB＝60゜である。
②　円O1は△ABCに内接している。
③　円O2はAB,BCに接しており,円O1との中心間の距離がである。
④ 点D,Eはそれぞれ辺AB,BC上に存在し,線分DEは円O1,O2の両方に接している。

(1) 円O1の半径を求めよ。
【解】△ABCで,BH＝4より,
　　　　△ABC＝×5×4＝10
r1(8＋7＋5)＝10より, r1＝

(2) 円O2の半径を求めよ。
【解】BO1＝2
BO2＝kBO1＝2kとすると,2(1－k)＝
k＝で, r2＝×＝

(3) 四角形DBEO1の面積を求めよ。
【解】BD＝5, BE＝
DBEO1＝△BDO1＋△BEO1＝(BD＋BE)×＝
２ 法政大第二高校　（Ｒ７年）　★★ ５ 青雲高校　（Ｒ７年）　★★
　図のような点Oを中心とする半径1cmの円がある。円の外にある点Ａから円に接線を引き,その接点を点Bとする。また,半直線AOと円の交点を点Aに近い点からそれぞれ点C,点Dとし,半直線BOと円の交点を点Eとする。OC:CA＝1:3のとき,

(1) ∠BAC＝a°とするとき，∠BCDをa°を用いた式で表しなさい。
【解】二等辺△OBCで,∠O＝90－a
∠BCD＝{(180－(90－a)}÷2＝(a＋45)°
(2) 線分CEの長さを求めなさい。
【解】AB＝, AF:BF＝3:1より,AF＝, BF＝
△BCEで,CE2＝22－BC2＝4－(BF2＋CF2)
　＝4－()2－{32－()2}＝より,CE＝cm
(3) △ABCの面積を求めなさい.。
【解】××＝cm2		 　下の図において,点Oを中心とする半径が1cmの円と,点O'を中心とする半径が3cmの円が点Pで接し,さらに図のように直線l とそれぞれ点Q,点Rで接している。また,直線mは2つの円と点Pで接しており,直線l とmの交点をMとする。

(1) ∠PO'Rの大きさを求めよ。
【解】△OO'Hは30･60･90°より,∠PO'R＝60°

(2) 線分QRの長さを求めよ。
【解】QR＝OH＝√42－22＝2

(3) 線分PM線分QMと弧PQで囲まれた部分の面積を求めよ。
【解】∠PMQ＝120°
2△OQM－OPQ＝2(××1)－12π×＝－π
３ 駿台甲府高校　（Ｒ６年）　★★ ６ 鎌倉学園高校　（Ｒ６年）　★★
　右図の半径2cmの円において,線分ABは円の直径で,直線PAは円の接線でPA＝3cmである。また,直線PBが円と交わるB以外の点をQとし,線分BQの中点をMとする。このとき,三角形APMの面積を求めよ。

【解】△ＰＡＢで,PB＝5
△PAB∽△AQB(比5:4)より,QB＝,AQ＝
△APM＝×PM×AQ＝×(5－÷2)×＝102/25cm2		 　図のように中心が同じで半径がそれぞれa,2aである円C1,C2があります。
　 C2上の点PからC1に2本の接線PA,PBを引いたとき,斜線部分の面積を求めなさい。

【解】OA＝OB＝a,OP＝2a,PA＝PB＝√3a
PAOB＝2△OAP＝(×√3a×a)×2＝√3a2
斜線部分＝√3a2－a2π＝(√3－π)a2

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