 図形 |
６ 円と三角形 （略解） | |
| 図形 |
６ 円と三角形 （略解） | |
| １ | 京都成章高校 （Ｒ７年） ★★★ | 5 | 早大本庄高等学院 （Ｒ７年） ★★ | |||||||||||||||||
 図のような,△ABCと円Oについて∠x,∠yの大きさを求めなさい。ただし,線分ACの中点をEとし,線分ADは円Oの中心を通るものとする。【解】ADは直径だから,∠B＝∠E＝90° △DACは二等辺三角形で,∠x＝37° △ABCは直角三角形で,∠BAD＝90－37×2＝16° ∠y＝∠BAD＝16° |
 下図のように,1辺の長さが4の正三角形ABCと半径2の円0があり,線分ABと円0の交点をDとする。線分BCと線分ODは垂直であり,OB＝BDであるとき,三角形ABCと円0の重なった斜線部分の面積Sを求めよ。ただし,円周率はπを用いよ。【解】4つの三角形は30°60°90° S＝  OCD＋△OBD－△OBC＝22π×  ＋ ×2× －×(＋ )×1
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| ２ | 青雲高校 （Ｒ５年） ★★ | 6 | 東大寺学園高校 （Ｒ４年） ★★★ | |||||||||||||||||
 中心Oの円に内接する△ABCについて, : : ＝7:3:2である。BC＝a,CA＝b,AB＝cとするとき,(1) bを,cを用いて表せ。 【解】中心角は弧の長さに比例するから, ∠AOB＝60°,∠AOC＝90° △OACは直角二等辺三角形  OA＝OC=cより, b＝√2c(2) aを,cを用いて表せ。 【解】△ABCで,垂線AHをおろす ∠B＝45°,∠C＝30°
(3) 円の半径をR,直線AOと直線BCの交点をDとするとき,ADの長さとBCの長さの積を,Rを用いて表せ。 【解】 △ADCで,∠ADC＝180－45－30＝105° △ADC∽△BACより, AD:AC＝BA:BCで, AD×BC＝AC×BA＝√2R×R＝√2R2 |
 (1) 線分DEの長さを求めよ。【解】（右上図参照） △ABDで,BE:DE＝AB:AD＝7:5 DE＝  BD＝6√2×＝ √2(2) 線分BCの長さを求めよ。 【解】AE＝x,EC＝yとすると, △BEC∽△AEDより,  √2:x＝y: √2で,xy＝35/2…ア△ABC∽△AEDより, 14:(x＋y)＝x:10で,x2＋xy＝140…イ  アをイに代入して,x＝√10
【解】垂線DOで,AH＝zとすると, △ABDで,102－z2＝(6√2)2－(14－z)2 これを解いて,z＝8で,DH＝6 BDの中点Kをとると,△OKB∽△AHDで, OB＝  BK＝3√2×＝5√2 |
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| ３ | 成城学園高校 （Ｒ６年） ★ | ７ | 四天王寺高校 （Ｒ７年） ★★ | |||||||||||||||||
 右の図のような直角三角形ＡBCがあり,二辺AC,BCは半径2㎝の円Oに接している。ACの長さを求めよ。【解】△OAEで,AE＝2√3  OECDは正方形ﾃで,EC＝2よって,AC＝(2√3＋2)cm |
 円に内接する△ABCがあり,ＡＢ＝4,BC＝5,CA＝6です。点Dは円上にあり,ADは∠BACの二等分線で,点EはADと辺BCとの交点です。また,AE＝x,DE＝yとします。(1) 線分BEの長さを求めなさい。 【解】BE:CE＝AB:AC＝2:3 BE＝BC×  ＝5×＝2(2) xyの値を求めなさい。 【解】△ABE∽△CDEより,x:3＝2:yで, xy＝6 (3) 線分ADの長さを求めなさい。 【解】△ABE∽△CDEより,x:6＝4:(x＋y)で,x2＋xy＝24 (2)より,x2＝18でx＝3  , y＝ よって,AD＝x＋y＝4 |
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| ４ | 早大本庄高等学院 （Ｒ６年） ★★ | |||||||||||||||||||
 ∠BAC＝aとするとき,∠DAB＋∠DBA＋∠EAC＋∠ECAをaを用いて表せ。【解】  DBEAは等脚台形だから,∠A＋∠B＝(x＋a＋z)＋(y＋x)＝180° 与式＝x＋y＋z＋x＝(180－a)° |
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