図形	３　線分比・面積比　（略解）

１	関西学院高等部　（Ｒ７年）　★	５	京都府立高校　（Ｒ５年）　★
右の図のように,1つの線分ABを点Cによって2つの線分ACとCBに分け,AC:CB＝CB:ABが成立するとき,この比率を黄金比という。このとき,AC＝1として,CBの長さを求めよ。 【解】CB＝xとすると,１：x＝x：(1＋x) x2＝x＋1より, x＝CB＝ 1＋ . 　　(これを黄金数という) 2		AB‖EC,AC‖DB,DE‖BCである。 【解】 △AFG∽△ABC(相似比2:5)より, 　　FG:10＝2:5で, FG＝4cm DBCGとFBCEで,DG＝FE＝10cm 　DE＝10＋10−4＝16cm
２	帝塚山泉ヶ丘高校　（Ｒ７年）　★	５	筑波大附属駒場高校　（Ｒ５年）　★★★
下の図のような△ABCがある。辺ACを3等分する点をD,E,辺BCの中点をFとし,AFとBD,BEの交点をそれぞれG,Hとする。BG:GDをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。 【解】平行線DPを引くと,BF:FP:PC＝3:1:2 BG:GD＝BF:FP＝3：1		AB＝16cm,BC＝(8＋6√2)cm,AC＝2√2cmの△ABCがあります。 (1) △ADGの面積を,Sを用いて表しなさい。 【解】 △ADG＝S× AG × AD ＝S× √2＋1 × 8−4√2 ＝ 1 S AC AB 2√2 16 8 (2) △DEGの面積を,Sを用いて表しなさい。 【解】 △CEG＝S× CG × CE ＝S× √2−1 × 7＋5√2 ＝ 1 S CA CB 2√2 8＋5√2 8 △BDE＝S× BD × BE ＝S× 8＋4√2 × √2＋1 ＝ 1 S BA BC 16 8＋6√2 8 　よって, △DEG＝S−S×3＝S (3) 線分FGの長さを求めなさい。 【解】 CF ＝ √2＋1 ＝ √2−1 ＝ CG で,GF//AB CB 8＋6√2 2√2 CA 　よって, FG＝AB× CG ＝16× √2−1 ＝8−4 CA 2√2
３	慶応義塾高校　（Ｒ７年）　★★★
右の図のようにAD//BCの台形ABCDがあり,AB＝AC＝1,∠BAC＝90°,BC＝BDである。このとき,△BCDの面積Ｓを求めよ。また,AC,BDの交点をEとするとき,△CDEの面積Ｔを求めよ。 【解】△ABC(直角二等辺)＝×12＝ AD//BCより, S＝△BCD＝△BCA＝ AH＝DH＝xとすると,△BDHで, 　(1＋x)2＋x2＝(√2)2より,x＝(√3−1)/2 AD:BC＝x：＝x:1より,T＝ 1 × 　x　. ＝ 1 × √3−1 ＝ 2− . 2 x＋1 2 √3＋1 2
４	慶應義塾志木高校　（Ｒ６年）　★★★	６	大阪教育大平野校舎　（Ｒ６年）　★
(1) 四角形DBCF 【解】 △ADF＝Ｓ××＝Ｓ DBCF＝Ｓ−Ｓ＝Ｓ (2) 線分AEと線分DFの交点をGとするとき,△DEG 【解】 △BED＝Ｓ××＝Ｓ　　△CFE＝Ｓ××＝Ｓ △DEF＝DBCF−(△BED＋△CFE)＝S AEの平行線DPとFQをとると, 　PE＝BE＝×BC＝BC 　QE＝CE＝×BC＝BC 　PE:QE＝：＝7：18 △DEG＝△DEF×＝S×＝S		AB＝AC＝10cmの直角二等辺三角形ABCがある。図1は,辺AC上に点Dをとり,線分BDで△ABCの面積を二等分したものである。図2は,辺AB上に点E,辺AC上に点F,Gをとり,線分BG,GE,EFで△ABCの面積を四等分したものである。 (1) 線分BDの長さを求めなさい。 【解】AD＝AC＝5 △ABDで,BD＝√52＋102＝5√cm (2) 線分FGの長さを求めなさい。 【解】 △ABG＝△ABCより,AG＝10×＝ FG＝AG＝×＝cm

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