関　数	２４　放物線と四角形１　（略解）

１	桃山学院高校　（Ｒ７年）　★★	５	函館ラ・サール高校　（Ｒ７年）　★★★
右の図のように,関数y＝ax2のグラフ上に2点B,Cがあり,x座標はそれぞれ2,4で,xの値が2から4まで増加するときの変化の割合は3です。四角形ABCDが平行四辺形となるとき, ⑴ aの値を求めなさい。 【解】変化の割合＝ 42a－22a ＝6a＝3より, a＝ 4－2 ⑵ 直線BCの式を求めなさい。 【解】B(2,2) C(4,8) を通るから, y＝ 8－2 (x－2)＋2＝3(x－2)＋2で, y＝3x－4 4－2 (3) 四角形ABCDをy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。 【解】(右図参照) 大円すい－小円すい×2 ×42π×12－(×22π×6)×2＝64π－16π＝48π		図のように,放物線y＝ax2（a＞0）上に4点A,B,C,Dがあり,CとDのx座標はそれぞれ3,6である。四角形ABCDはADとBCがx軸と平行な台形で,その面積は81cm2である。 (1) aの値を求めなさい。 【解】C(3,9a) D(6,36a) 面積＝(12＋6)×27a＝81より, a＝ (2) 点(1,0)を通り,台形ABCDの面積を二等分する直線の方程式を求めなさい。 【解】対角線の交点(0,15/2)と(1,0)を通るから, y＝－x＋ (3) 放物線上に点Pを台形ABCDと四角形PABCの面積が等しくなるようにとるとき,点Pの座標を求めなさい。ただし,点Pは直線ADに関してx軸と反対側にあるものとする。 【解】D(6,12)を通ってAC(傾き－1)に平行な直線はy＝－x＋18 これとy＝x2との交点で,x2＝－x＋18より, P(－9,27)
２	愛光高校　（Ｒ５年）　★★★	６	桜美林高校　（Ｒ６年）　★★
図のように,放物線y＝x2と直線y＝－x＋4が2点A,Bで交わっている。また,x軸上に点Pをとり,さらに四角形APBQが平行四辺形となるように点Qをとる。ただし,点Pのx座標は4より小さいとする。 (1) 点A,Bの座標を求めよ。答のみでよい。 【解】x2＝－x＋4より,x＝－4,2 A(－4,8) B(2,2) (2) 点P,Qの座標を求めよ。 【解】△APB＝△AOBになればよい DP:BO＝CP:CO＝3:2より, P(－2,0) D(－1,5)は対角線の交点だから, Q(0,10) (3) 点Pの座標を求めよ。 【解】B'(2,－2)をとると,AB'はy＝－x＋ …ア 点は右上図のEで,アにy＝0を代入して, P(,0)		放物線y＝ax2(a＞0)…ア (1) aの値を求めなさい。 【解】アにA(－8,16)を代入して, 16＝(－8)2aで, a＝16/64＝ (2) 点Bの座標を求めなさい。 【解】B(b,b2)とすると,CF＝BEより,b－(－3)＝b2 これを解いてb＝6で, B(6,9) (3) 放物線y＝ax2のx座標が負である部分に点Pをとる。BP＝CPとなるとき,点Pのx座標を求めなさい。 【解】BCの垂直二等分線l との交点がP FE＝6＋9＝15より,C(－3,15)で,M(,12) l はy＝(x－)＋12＝x＋…イ ア＝イより,x2＝x＋で, x＝3－4√3
３	日本大第二高校　（Ｒ６年）　★	７	慶応義塾女子高校　（Ｒ７年）　★★★
原点を通り,平行四辺形ABCDの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。 【解】対角線ACの中点Mを求める A(－6,18),C(8,32)より,M（1,25) 二等分線はOMで, y＝25x		直線ABとy軸の交点をE,点Bのx座標をt として,(ただし,t ＞０) (1) 点Cの座標を,t を用いて表しなさい。 【解】AB＝DC＝2t より, C(2t ,t 2) (2) 線分DEの長さを,t を用いて表しなさい。 【解】DE＝t 2－t 2＝t 2 (3) 直線ACの傾きがになるとき, ① t の値と,直線ACの式を求めなさい。 【解】傾き＝ t 2－t 2 ＝ t 2 ＝ 1 より, t ＝3 2t －（－t ） 3t 3 ② 点Ｆを放物線上にとって,四角形ABCDと△ACFの面積が等しくなるようにしたい。点Fの座標をすべて求めなさい。 【解】2△ABC＝△ACEとなる点E(0,6)をとる Eを通り,ACに平行な直線は,y＝x＋6で, y＝x2との交点は, P(－6,4)　P(9,9)
４	成蹊高校　（Ｒ６年）　★
関数y＝x2…ア (1) 点Cの座標を求めよ。 【解】A(1,)　1辺をtとすると,C(1＋t,＋t) アにCを代入して,＋t＝(1＋t)2より, 　t＝1で, C(2,) ⑵　∠ADB＝30°でAD＝3のとき,点Aの座標を求めよ。 【解】A(a,a2)とすると,C(a＋√3,a2＋3) アにCを代入して,a2＋3＝(a＋√3)2より,a＝√3で, A(√3,1)

［TOP］　［問題に戻る］　　★　中　　★★　やや難　　★★★　難