関数	２３　放物線と三角形　（略解）

１	國學院大久我山高校　（Ｒ５年）　★★	４	京華高校　（Ｒ７年）　★★★
,放物線y＝x2上に3点P,Ｑ,Rがある。P,Ｑ,Rのx座標をそれぞれp,q,r（r＜p＜q）とする。△PQRはRP＝RQ,PQ＝√5の二等辺Ξ角形であり,直線PQの傾きは2である。また,PQの中点をMとすると,直線MRの傾きは－である。 (1) q－pの値を求めなさい。 【解】△PQSで,PQ＝√5, QS/PS＝ PS＝q－p＝1…ア (2) qの値を求めなさい。 【解】QS＝q2－p2＝2 …イ アより,p＝q－1で,これをイに代入して, 　q2－(q－1)2＝2で, q＝ (3) rの値を求めなさい。(途中過程も記す) 【解】P(,) Q(,)より,M(1,) RMの傾き＝ －r2 ＝－ より,4r2＋2r－7＝0 1－r r＜p＝だから, r＝ －1－√29 4		右の図のように,関数y＝ax2…①のグラフ上に2点A,Bがあり,x座標はそれぞれ2,4である。また,y軸上に点C(0,6)をとる。関数①で,xの値が−3から1まで増加するときの変化の割合が−となるとき, (1) aの値を求めよ。 【解】変化の割合＝ 12a－(－3)2a ＝－2a＝－ 1 より, a＝ 1－(－3) 2 (2) △ABCの面積を求めよ。 【解】A(2,1) B(4,4) BCはy＝－x＋6 E(2,5)より, △ABC＝×(5－1)×4＝8 (3) 四角形ABDCの面積が,△ABCの面積の4.5倍になるように①のグラフ上に点Dをとる。 このとき,Dの座標を求めよ。ただし,Dのx座標は正とする。 【解】BCの平行線AFはy＝－x＋2 DGがy＝－x＋20になればよい 　これと①の交点は,x2＝－x＋20より, D(8,16)
２	明大付属中野高校　（Ｒ７年）　★★★	５	渋谷教育学園幕張高校　（Ｒ７年）　★★★
右の図のように,放物線y＝ax2(a＞0)上に3点A,B,Cがあり,AB＝AC＝4,∠BAC＝120°で,ABはx軸に平行です。また,点Dはy軸上にあり,BC⊥DCです。 (1) aの値を求めなさい。 【解】△ACHで,∠A＝90°,AC＝4より,C(－4,12a＋6)で, 　これをy＝ax2に代入して,(－4)2a＝12a＋6より, a＝ (2) △BCDの面積を求めなさい。 【解】BCはy＝－x＋4　CDはy＝x＋20 △BCD＝△CDE＋△BDE＝×(20－4)×(2＋4)＝48 (3) BCとy軸との交点をEとし,CD上に点Fをとります。直線EFが△BCDの面積を二等分するとき,点Fの座標を求めなさい。 【解】△ECF＝ 1 △BCD＝ 2 × CF ×△BCD 2 3 CD 2CF ＝ 1 より,CF:FD＝3:1となって, F(－,17) 3CD 2		関数y＝x2のグラフ上にx座標がa（a＞0）の点Pをとり,右の図のように正三角形PQRをつくります。ただし,辺PQはx軸に垂直であり,点Rのx座標はaより大きいものとします。 (1) 点Rの座標をaを用いて表しなさい。 【解】△QRHで,∠Q＝30°,QR＝a2より, R(a2＋a,a2) (2) 辺PQを2:1に内分する点をSとします。直線OSが正三角形PQRの面積を2等分するときについて考えます。 ① 直線OSは辺PRと点Tで交わります。PT:TRを最も簡単な整数の比で表しなさい。 【解】△PST＝ 1 △PQR＝ 2 × PT ×△PQR 2 3 PR 2PT ＝ 1 より, PT:TR＝3:1 3PR 2 ② aの値を求めなさい。 【解】T(a2＋8,a2)　OSはy＝ax TをOSに代入して,(a2＋8)a＝a2より, a＝
３	駿台甲府高校　（Ｒ６年）　★★	６	慶應義塾高校　（Ｒ６年）　★★★
(1) a,bの値をそれぞれ求めよ。 【解】アにＡを代入して,2＝(－2)2aで, a＝ y＝x2にBを代入して, b＝×42＝8 (2) 三角形OABの面積を求めよ。 【解】ABはy＝x＋4で,C(0,4) △OAB＝OC×(BとAのx座標差) 　　＝×4×(4＋2)＝12 (3) 三角形OAHの面積を求めよ。 【解】OB＝4√5,OA＝2√2 △OAB∽△OHAで,面積比は(4√5)2：(2√2)2＝10:1 よって,△OAH＝△OAB＝12×＝		(1) 点Bの座標を求めよ。 【解】OAの傾きがだから,OBの傾きは－2 x2＝－2xより, B(－8,16) (2) 点Cの座標を求めよ。 【解】ABに平行なy＝－xを引く x2＝－xより, C(－6,9) (3) 線分ODの長さを求めよ。 【解】△OAB＝×4×(AとBのｘ座標差)＝20…ア △BOC＝△AOC＝×3×(AとCのx座標差)＝12…イ ア＋イより,OABC＝32だから,△ABD＝16になればよい。 アより,OD＝OA＝√5/5

［TOP］　［問題に戻る］　　★　中　　★★　やや難　　★★★　難