数　式	２９　平方根３　（解答）

１	四天王寺高校　（Ｒ５年）　★	６	大阪府立高校Ｃ　（Ｒ５年）　★★
\(\sqrt{847n}\)が整数となる自然数nのうち,最も小さいものはn＝(　)です。このとき,\(\sqrt{847n}\)＝(　)です。 【解】847＝112×7 根号内が最小の平方数になればよいから, n＝7 このとき,√847n＝√112＋172＝11×7＝77		nを自然数とする。n≦\(\sqrt{x}\)≦n＋1を満たす自然数xの個数が100であるときのnの値を求めなさい。 【解】各辺を2乗して, n2≦x≦(n＋1)2 xは100個だから, (n＋1)2−n2＝99 　2n＋1＝99で, n＝49
２	桃山学院高校　（Ｒ５年）　★	７	桐朋高校　（Ｒ５年）　★
\(\sqrt{\frac{2023}{n}}\)が自然数となるような自然数nをすべて求めなさい。 【解】 2023＝172×7 根号内が平方数になればよいから, n＝7, 2023		1＋√3の整数部分をa,小数部分をbとするとき,ab＋b2の値を求めよ。 【解】√3≒1.73より, 1＋√3≒2.73 a＝2, b＝(1＋√3)−2＝√3−1 与式＝b(a＋b)＝(√3−1)(2＋√3−1) 　＝(√3−1)(√3＋1)＝2
３	京華高校　（Ｒ５年）　★★	８	早大高等学院　（R７年）　★★★
\(\sqrt{\frac{20a}{3}}\)が2桁の自然数の中で最も大きくなるよ うな自然数aの値を求めよ。 【解】20＝22×5 根号内が平方数になればよいから, a＝15k2 　 ＝10k 10≦10k＜99より, kの最大値＝9 　よって, a＝15k2＝15×92＝1215		\(\sqrt7\)×\(\sqrt{17}\)の整数部分をA, B＝282−(\(\frac{35}{3}\))2とするとき, (1) Aの値を求めよ。 【解】 √100＜√119＜√121より, 　　10＜√7･√17＜11で, A＝10 (2) の値を求めよ。 B＋(\(\frac73\))2＝（28＋\(\frac{35}{3}\))(28−\(\frac{35}{3}\))＝\(\frac{119}{3}\)×\(\frac{49}{3}\)＋(\(\frac73\))2 　＝\(\frac{49}{9}\)(119＋1)＋\(\frac{49}{9}\)＝\(\frac{49}{9}\)×120＝\(\frac{49･40}{3}\)…ア −12A×\(\frac73\)−24A＝−12×10×\(\frac{13}{3}\)＝−520…イ アイより,与式＝\(\sqrt{\frac{20}{3}}\)＝\(\color{red}{\frac{20\sqrt{3}}{3}}\)
４	都立産技高専　（R７年）　★★
\(\sqrt{5n+225}\) が自然数となるような最も小さい自然数nの値を求めよ。 【解】根号内が平方数 5n＋225＝5(n＋45)＝5･5k2の形になればよい n＋45＝5k2より,n＝5(k2−9) 最小はk＝4のときで, n＝5×(16−9)＝35
５	中央大杉並高校（Ｒ６年）　★	９	明治大付属中野高校（Ｒ６年）　★★★
を計算しなさい。 【解】 \(与式＝\sqrt{\sqrt{90-9}+\sqrt{240+16}}\) 　\(　＝\sqrt{\sqrt{81}+\sqrt{256}}\) 　＝√9＋16＝5		5−√7の整数部分をa,小数部分をbとするとき, 3a2−5ab＋2b2 の値を求めなさい。 a2−ab 【解】√7≒2.6より,a＝2,b＝(5−√7)−2＝3−√7 与式＝ (3a−2b)(a−b) ＝ 3a−2b a(a−b) a 　＝ 3・2−2(3−√7) ＝\(\color{red}{\sqrt7}\) 2

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