| １ | 京都市立堀川高校 （Ｒ５年） ★ | 6 | 昭和学院秀英高校 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| a4＋4b4＝(a2＋2ab＋2b2)(a2−2ab＋2b2) が成り立つ。 10004 を素因数分解しなさい。 【解】a＝10,b＝1として代入 10004＝104＋4×14＝(100+20+2)(100-20+2) ＝122×82＝22×41×61 |
132＋x2＝y2 となる自然数の組 (x,y) をすべて求めよ。 【解】x＜yとなる 移項して,(y＋x)(y−x)＝169 このとき, y＋x＝169, y−x＝1 これを解いて,(x,y)＝(84,85) |
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| ２ | 西武学園文理高校 （Ｒ５年） ★★ | ７ | 青山学院高等部 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| 自然数nの約数は3個あり,それら約数の和が57となるような自然数nは[ ]である。 【解】nの3個の約数は,a2,a,1と表せるから, a2＋a＋1＝57で, (a−7)(a＋8)＝0 a＞0より,a＝7となるから, n＝a2＝49 |
(1) 2023を素因数分解せよ。 【解】7×172 (2) 4m2＝n2＋2023となる自然数m,nのうち,mが最小の2数を求めよ。 【解】 4m2−n2＝2023 (2m＋n)(2m−n)＝7×172 (2m＋n，2m−n)＝(1,2023) (7,289) (17,119) このとき最小は, (m,n)＝(34,51) |
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| ３ | 立命館高校 （Ｒ５年） ★ | ||||||
| 21042を11で割った余りを求めなさい。 【解】2104＝11k＋3とおける 与式＝(11k＋3)2＝11(11k2＋6k)＋9で, 余り9 |
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| ４ | 早大本庄高等学院 （R７年） ★★★ | ８ | 慶應義塾女子高校 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| 次の2つの等式を同時に満たす整数の組(m,n) をすべて求めよ。 (m−2n＋20)(m＋n)＝−12…ア (3n−25)(m＋n)＝6 …イ 【解】 イより(3n−25, m＋n) ＝(−1,−6)と(2,3)の場合に整数解 このとき,(m,n)＝(−14,8) (−6,9)…ウ ウをアに代入して成り立つのは, (m,n)＝(−6,9) |
整数xに6を加えると整数mの平方になり,xから17を引くと整数nの平方になる。m,nはともに正として,m,n,xの値を求めなさい。 【解】
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| ５ | 都立産技高専 （Ｒ６年） ★★ | ９ | 早稲田実業高等部 （Ｒ６年） ★★ | ||||
| a,b,cは素数で,a＜b＜cである。a2bcの約数は何個あるか。 【解】書き出してみると,12個 1 a a2 b c ab ac a２b a2c bc abc a2bc 【別解】3×2×2＝12個 (a0,a1,a2の3通り)×(b0,b1の2通り)×(c0,c1の2通り) |
2052の値を利用して,42024を素因数分解せよ。 【解】2052＝42025 42024＝2052−1＝(205＋1)(205−1) ＝206×204＝(2×103)×(22×3×17) ＝23×3×17×103 |
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