 数 式 |
２４ 数の性質２ （解答） |
| 数 式 |
２４ 数の性質２ （解答） |
| それぞれの値を求めなさい。 | |||
| １ | 京都市立西京高校 （R７年） ★ | ６ | 江戸川学園取手高校 （Ｒ５年） ★ |
| pを素数とする。p2の正の約数の和が31となるとき,pの値 【解】p2の約数は 1, p, p2 1＋p＋p2＝31より,p2＋p−30＝0 (p＋6)(p−5)＝0より, p＝5 |
連続する2つの正の奇数の2乗の和は,2数の積より67大きい。このとき,2数のうち小さい方の数 【解】2数を2k−1と2k＋1とすると (2k−1)2＋(2k＋1)2＝(2k−1)(2k＋1)＋67 8k2＋2＝4k2＋66より, k＝4 よって, 2k−1＝2×4−1＝7 |
||
| ２ | 大阪星光学院高校 （Ｒ７年） ★★★ | ７ | 作新学院高校 （Ｒ６年） ★★★ |
| x2＋2xy＋x−4y−6…アを因数分解すると[ ]である。また,x2＋2xy＋x−4y−42＝0…イを満たす自然数x,yの組をすべて求めると,(x,y)＝[ ]である。 【解】ア＝x2＋x−6＋2xy−4y ＝(x＋3)(x−2)＋2y(x−2)＝(x＋2y＋3)(x−2) イ＝ア−36＝0より,ア＝36で,x＋2y＋3≧6 (x＋2y＋3,x−2)＝(6,6) (4,9) (3,12) (2,18) (1,36) これより条件にあうのは, (x,y)＝(5,2) (3,15) |
32024の一の位の数は,[ ]である。 【解】31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝243, 36＝729 … 3の累乗の一位数は,3,9,7,1｜3,9,7,1｜3,… 4個ごとのくり返し 2024÷4＝506より,ちょうど,506回の繰り返しで, 1 |
||
| ３ | 桃山学院高校 （R７年） ★ | ８ | 日大習志野高校 （R７年） ★★ |
| 6つの整数−5,−3,−1,2,4,6があります。この整数の中から異なる整数を4つ選び,下の計算式のA,B,C,Dに1つずつ入れるとき,計算結果の最大値A×B＋\(\frac{C}{D}\) 【解】A×Bの最大値：4×6＝24 \(\frac{C}{D}\)の最大値：(−5)÷(−1)＝5 よって, 24＋5＝29 |
1から60までの整数の積1×2×3×…×58×59×60を計算したとき,一の位から連続して並ぶ0の個数は全部で[ ]個ある。 【解】5がいくつ掛け合わされているか 5が1個…5,10,15,20,30,35,40,45,55,60の10数 5が2個…25,50の2数 1×10＋2×2＝14個 |
||
| ４ | 秋田県立高校 （Ｒ６年） ★★ | ９ | 大阪教育大池田校舎 （Ｒ６年） ★★ |
| n2−20n＋91の値が素数になる自然数nをすべて 【解】n2−20n＋91＝(n−7)(n−13) どちらかの因数が±1だから, n＝6,8,12,14 与式＝7(素数)となって適するのは, n＝6,14 |
2520はは1から10までのどの自然数でも割り切れる最小の自然数である。1から16までのどの自然数でも割り切れる最小の自然数を。 【解】2520＝23×32×5×7に2×11×13を追加 2520×(2×11×13)＝720720 |
||
| ５ | 日大藤沢高校 （Ｒ７年） ★★★ | 10 | 慶応義塾志木高校 （R７年） ★★★ |
| 5桁の自然数4A07Bは6の倍数である。この5桁の自然数が晨大になるのは, A＝( ), B＝( ) のときである。 【解】6の倍数は,2の倍数かつ3の倍数 (i) 2の倍数だから末位が偶数で,B＝0,2,4,6,8 (ii) 3の倍数だから各位の和が3の倍数で, 4+A+0+7+B＝A＋B＋11が3の倍数 つまり,A＋B＝1,4,7,10,13,16 ((i)(ii)より最大になるのは, A＝9, B＝4 |
ある分数の分母に5を加えると分数の値は\(\frac13\)となり,分子に3を加えると分数の値は1より大きく2より小さい。この分数を。 【解】ある分数を\(\color{red}{\frac{x}{y}}\)とすると, \(\frac{x}{y+5}\)＝\(\frac13\)より,y＝3x−5…ア (i) y＞0のとき,1＜\(\frac{x+3}{y}\)＜2より,y＜x＋3＜2y…イ アを代入して解くと,x＝3,y＝4で, \(\color{red}{\frac34}\) (ii) y＜0のとき,1＜\(\frac{x+3}{y}\)＜2より,2y＜x＋3＜y…ウ アを代入して解くと,解なし |
||