 数 式 |
２３ 数の性質１ （解答） |
| 数 式 |
２３ 数の性質１ （解答） |
| １ | 函館ラ・サール高校 （R７年） ★ | ６ | 専修大附属高校 （R７年） ★ |
| 213以上の整数のうち最も小さい素数を答えなさい。 【解】213以上の奇数を順に素因数分解いていく 213＝3･71 215＝5･43 217＝7･31 219＝3･73 221＝13･17 これらは素数でないから, 223 |
2025nが,ある自然数の3乗となるとき,最小の自然数nを求めなさい。 【解】 2025n＝452nが3乗数になるには, n＝45 |
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| ２ | 秋田県立高校 （R７年） ★★ | ７ | 福岡大附属大濠高校 （R７年） ★★★ |
| nは自然数である。\(\frac{n}{12}\), \(\frac{360}{n}\) がともに整数となるのは全部で何個あるか,求めなさい。 【解】 nは12の倍数だから,n＝12k(kは自然数)とすると, \(\frac{360}{n}\)＝\(\frac{360}{12k}\)＝\(\frac{30}{k}\)となるから, kは30の約数で,k＝1,2,3,5,6,10,15,30で, 8個 |
x＋xy＋xyz＝22, x＜y＜z を満たす正の整数x,y,zの値は[ ]である。 【解】x＋xy＋xyz＝x(1＋y＋yz)＝2×11 (i) x＝1のとき,1＋y＋yz＝22で,y(1＋z)＝21 1＜y＜zより,(y,z)＝(3,6) (ii) x＝2のとき,1＋y＋yz＝11で,y(1＋z)＝10 2＜y＜zより,(y,z)はなし (i)(ii) より, (x,y,z)＝(1,3,6) |
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| ３ | 広島県立高校 （R７年） ★★★ | ８ | 愛光高校 （R７年） ★★★ |
| nを整数とします。\(\frac{45^2-n^2}7\)が自然数となるような nのうち, 最も大きいnの値を求めなさい。 【解】 分子＝(45＋n)(45−n)＞0より,−45＜n＜45 (i) 45＋nが7の倍数のとき,0＜45＋n＜90 最大は45＋n＝84のとき,すなわちn＝84−45＝39 (ii) 45−nが7の倍数のとき,0＜45−n＜90 最大は45−n＝7のとき,すなわちn＝45−7＝38 (i)(ii)より, n＝39 |
nを正の整数とするとき,\(\frac{720}{n^2}\)と\(\frac{648}{n^3}\)がともに整数となる最大のnの値は[ア ]で, \(\frac{n^2}{720}\)と\(\frac{n^3}{648}\)がともに整数となる最小のnの値は[イ ]である。 【解】720＝24･32･5 648＝23･34 ア \(\frac{720}{n^2}\)＝(\(\frac{12}{n}\))2･5 \(\frac{648}{n^3}\)＝(\(\frac{6}{n}\))3･3 最大値nは12と6の最大公約数で 6 イ \(\frac{n^2}{720}\)＝(\(\frac{n}{60}\))2･5 \(\frac{n^3}{648}\)＝(\(\frac{n}{18}\))3･9 最小値nは60と18の最小公倍数で 180 |
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| ４ | 大阪教育大附属高校 （R７年） ★★★ | ９ | 西大和学園高校 （R７年） ★★★  |
| 2025は,ある素数Aの6乗と,素数ではないある数Bの4乗の和で表すことができる。このとき,Bを求めなさい。 【解】A6＜2025＝452より,A3＜45で,A＝2,3 (i) A＝2のとき,B4＝2025−26＝1961 これは4乗数ではない (ii) A＝3のとき,B4＝2025−36＝1296＝64 よって, B＝6 |
2025の約数のうち,3の倍数の総和をS,5の倍数の総和をTとする。Ｓ−Tの値を求めよ。 【解】2025＝34×52 S＝(3＋32＋33＋34)(1＋5＋52)＝120×31＝3720 T＝(5＋52)(1＋3＋32＋33＋34)＝30×121＝3630 よって, S−T＝3720−3630＝90 |
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| ５ | 法政大第二高校 （Ｒ６年） ★★ | 10 | 慶應義塾女子高校 （Ｒ６年） ★★ |
| 2nを19で割ったときの余りが9となる最小の自然数nを求めなさい。 【解】小さい方からnを当てはめて探す 28÷19＝256÷19＝13余り9 よって, n＝8 |
等式 a2＋b2−2a−4b＝20 が成り立つようなa,bの値の組をすべて求めなさい。 【解】(a−1)2＋(b−2)2＝25 (a−1,b−2)＝(0,5) (5,0) (3,4) (4,3) よって, (a,b)＝(1,7) (6,2) (4,6) (5,5) |
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