 数 式 |
２１ 二次方程式３ （解答） |
| 数 式 |
２１ 二次方程式３ （解答） |
| それぞれの２次方程式を解きなさい。 | |||||||||||
| １ | 都立戸山高校 （R７年） ★★ | ６ | 桐光学園高校 （R７年） ★★ | ||||||||
| xについての2次方程式 x2＋ax＋b＝0 の解が−1と3のとき,xについての2次方程式 x2＋bx＋a＝0 を解け。 【解】解と係数の関係より, a＝−{(−1)＋3}＝−2, b＝(−1)×3＝−3 x2＋bx＋a＝x2−3x−2＝0 よって, \(x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1} \)＝\(\color{red}{\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}}\) |
xの2次方程式 x2＋ax＋200＝0 の2つの解がともに負の整数となるような,整数aの値は何個あるか。 【解】2つの解の組は次の6通り (−1,−200) (−2,−100) (−4,−50) (−5,−40) (−8,−25) (−10,−20) aはこれら2つの解の和だから, 6個 |
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| ２ | 東京学芸大附属高校 （R７年） ★ | ７ | 京都府立桃山高校 （R７年） ★★★ | ||||||||
| 2次方程式 x2−37x＋286＝0 の2つの解は,どちらも2けたの正の整数である。この2つの解を,10から99までの整数の中から2つ選び,答えなさい。 【解】286＝2×11×13 (x−11)(x−26)＝0より, x＝11，26 |
2次方程式 x2＋ax＋b＝0 の2つの解をs,t(s＞t) としたとき,2s−1,3t＋1を解とする2次方程式が x2＋8x＋15＝0 となった。このときa,bの値を求めなさい。 【解】x2＋8x＋15＝0の解は,x＝−3,−5
a＝−{(−1)＋(−2)}＝3, b＝(−1)・(−2)＝2 |
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 解と係数の関係 (高校内容)ax2＋bx＋c＝0の解がx＝p,qのとき
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| ３ | 桃山学院高校 （R７年） ★★ | ８ | 明大付属明治高校 （R７年） ★★★ | ||||||||
| xの2次方程式 x2＋ax＋b＝0 の2つの解にそれぞれ5を加えた数が,2次方程式 x2−2x−8＝0 の 2つの解になるとき,定数a,bの値を求めなさい。 【解】x2−2x−8＝0の解は,x＝4,−2 x2＋ax＋b＝0の解は,x＝4−5＝−1とx＝−2−5＝−7 x2＋ax＋b＝(x＋1)(x＋7)＝0で, a＝8, b＝7 |
2次方程式 2x2＋5x＋1＝0 の2つの解のうち,大きい方をa,小さい方をbとするとき, (1) \(\frac{(x+y)^2}{ab}\) の値を求めよ。 【解】解と係数の関係より, a＋b＝−\(\frac52\), ab＝\(\frac12\) 与式＝(−\(\frac52\))2÷\(\frac12\)＝\(\color{red}{\frac{25}{2}}\) (2) 2a2b3＋5ab3＋b3＋6b2＋16b＋5 の値を求めなさい。 【解】2a2＋5a＋1＝0, 2b2＋5b＋1＝0だから 与式＝b3(2a2＋5a＋1)＋3(b2＋5b＋1)＋b＋2 ＝0＋0＋b＋2＝\(\frac{-5-\sqrt{17}}{4}\)＋2＝\(\color{red}{\frac{3-\sqrt{17}}{4}}\) |
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| ４ | 巣鴨高校 （R７年） ★★ | ||||||||||
| xの2次方程式 x2−2x−2＝0 の異なる2つの解を a,b(a＜b)とするとき, b2−a2の値を求めよ。 【解】x2−2x−2＝0の解は,x＝1±\(\sqrt3\) 与式＝(1＋\(\sqrt3\))2−(1−\(\sqrt3\))2＝4\(\color{red}{\sqrt3}\) |
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| ４ | 灘 高校 （Ｒ６年） ★★★ | ９ | 立教新座高校 （R７年） ★★ | ||||||||
| 3(x＋a)2＝(2a2−1)(x＋a)＋x2−2ax−3a2 が解を1つしかもたないようなaの値をすべて求めると,a＝[ ]である。 【解】共通因数x＋aを見つける 3(x＋a)2＝(2a2−1)(x＋a)＋(x−3a)(x＋a) (x＋a){3(x＋a)2−(2a2−1)−(x−3a)}＝0 { }の部分の解もx＝−aになればよい これを代入して,−2a2＋1＋4a＝0
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kを定数とします。2つの2次方程式 x2−kx−10＝0…ア, x2＋5x＋2k＝0…イ が共通の解を1つだけもつとき,この共通の解とkの値をそれぞれ求めなさい。ただし,kは−5以外の数とします。 【解】ア＝イより,x2−kx−10＝x2＋5x＋2k (k＋5)(x＋2)＝0で,k≠−5より,共通解 x＝−2 …ウ ウをアに代入して,4＋2k−10＝0で, k＝3 |
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