関数	３１　動点３ （解答）

１	和歌山県立高校　（Ｒ６年）　★	４	駿台甲府高校　（Ｒ７年）　★★
右の図のような長方形ABCDがある。点Pは点Aを出発して長方形の辺上をB,Cの順にCまで動くものとし,点Pが点Aからxcm動いたときの△APDの面積をycm2とする。 【解】　ア ・PがAB上(0≦x≦4)のとき, y＝×5x＝x (原点を通る直線) ・PがBC上(4≦x≦9)のとき,y＝×5×4＝10 (x軸に平行な直線)		右図のような,１辺10ｃｍの正三角形ABCにおいて,点PはAを出発レて,辺AB上を毎秒2cmで動き,点QはCを出発して,辺CA上を毎秒1cmで動く。2点P,Qは同時に出発し5秒間動くとき,△APQの面積が10cm2となるのは,点PがAを出発してから何秒後か求めよ。 【解】x秒後とすると, AP＝2x　AQ＝10－x △APQ ＝ ( AP × AQ ) △ABCより, AB AC 10 \(\sqrt3\)＝ 2x × 10－x ××102)で, 　x＝5＋ \(\color{red}{\sqrt5}\) 秒後 10 10
２	大阪教育大附属池田校舎　（Ｒ５年）　★★	５	埼玉県立高校　（Ｒ５年）　★★★
AB＝4cm,BC＝3cm,∠B＝90゜の直角三角形ABCがある。 (1) xの変域が次のとき,yをxの式で表しなさい。 【解】 ① 0≦x≦4(QはAC上)　y＝x×(x)で, y＝x2 ② 4≦x≦5(QはAC上)　y＝×4×(x)で, y＝x2 ③ 5≦x≦8(QはCB上)　y＝×4×(5＋3－x)で, y＝－2x＋16 （2）△APQ＝△ABCのときの,xの値 【解】△APQ＝△ABC＝cm2 (1)の解に代入して,①より,x＝√5 　②より,x＝√5(不適)　③より,x＝ (3) tの値と△APQの面積を求めなさい。 【解】t秒後は①,t＋3秒後は③ t2＝－2(t＋3)＋16より, t＝ △APQ＝×()2＝cm2		1辺4cmの正方形を底面とし,高さが6cmの直方体ABCD-EFGHがあり,辺AE上に,AI＝4cmとなる点I をとります。 (1) IP＋PGの長さが最も短くなるのは,点Pが頂点Bを出発してから何秒後か求めなさい。 【解】展開図参照 BP＝5より, 5秒後 (2) できる2つの立体のうち,頂点Aを含む立体の体積 【解】(青線図)1辺4cmの立方体× 体積＝43×＝32cm3 (3) x秒後の△I PQは,球とちょうど1点で接しました。xの値を求めなさい。 【解】切断面AEGCで考える PQの中点をM,BP＝xとすると, 　x＋2√2＋2＝6より, x＝4－2√2
３	市立西京高校　（Ｒ６年）　★★	６	東京科学大科技高校　（Ｒ７年）　★★★
図のように,AB＝8cm,,BC＝12cmの直角三角形ABCがある｡点Pは点Aを出発し,Ａ→B→Cの順に毎秒2cmの速さで辺上を移動し,点Qは点Pが点Ａを出発すると同時に点Bを出発し,B→Cの順に毎秒1cmの速さで辺上を移動する。点P,点Qのどちらかが先に点Cに着いたとき,点P,点Qはともに停止する。 (1) 線分PQが辺ACと平行になるときの△APQの面積を求めよ。 【解】BP:BQ＝8:12＝2:3となればよい x秒後とすると,(8－2x):x＝2:3で,x＝3 　△APQ＝×6×3＝9cm2 (2) 点Pが点Ａを出発してからx秒後に△APQの面積が2cm2となる。xの値をすべて求めよ。 【解】 ・PがAB上(0≦x≦4)のとき,×2x×x＝x2＝2で, x＝√2 ・PがBC上(4≦x≦10)のとき,PQ＝x－(2x－8)＝8－x 　×(8－x)×8＝2で, x＝ ・PがC上(10≦x≦12)のとき,PQ＝12－x 　×(12－x)×8＝2で, x＝23/2		図1の台形ABCDを辺CDを軸として回転させてできる図２の立体がある。この立体について,点PはAを出発して,円の周上を一定の速さで動き続け,24秒ごとにAを通過する。点QはPと同時にBを出発して,円の周上を一定の速さでPと同じ向きに動き続け,48秒ごとにBを通過する。 (1) 立体の体積を求めなさい。 【解】円すい台＝大円すい× （×82π×8)×＝(448/3)πcm3 (2) 点Pが出発してから12秒後の線分BPの長さを求めなさい。 【解】Pは,Aの180°反対側 BP＝√122＋42＝4cm (3) 2点P,Qが出発してから64秒後の△PBQの面積を求めなさい。 【解】Pは2周,Qは1周 △PEHで,PH＝4,EH＝8より,PE＝4 △PBQ＝×8×4＝16\(\color{red}{\sqrt{15}}\)cm2

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