関数 １５　放物線と直線２　（略解）
１ 中央大附属高校　（Ｒ５年）　★★ ４ 帝京高校　（Ｒ７年）　★★
　放物線y＝ax2…ア と直線y＝bx－5…イ は2点A,Bで交わる。

(1) a,bの値を求めなさい。
【解】アイにA,Bのx座標を代入して
(－5)2a＝－5b－5で,5a＋b＝－1…ウ
22a＝2b－5で，4a－2b＝－5…エ
ウエを連立させて解くと, a＝－, b＝

(2) 放物線上に点Cをとる。△ACBの面積が105となるとき,点Cの座標をすべて求めなさい。
【解】ABの平行線y＝x＋p…ウをとる
△ABP＝(－5－p)×(2＋5)＝105より,p＝－35
ウはy＝x－35で,ア＝ウより,
　 C(－10,－50)　C(7,－49/2)		 　図のようにy＝ax2(a＞0)上にx座標が－2である点Ａをとり,x座標が正である点Bをとった。直線ABとy軸との交点をCとしたとき,AC:BC＝1:2となった。また,直線ABは点(3,7)を通るとき,
(1) aの値を求めなさい。
【解】AC:BC＝1:2より,Bのx座標は4
x座標を代入して, A(－2,4a) B(4,16a)で,Ｃ（0,8a）
ABの傾き＝ 16a－4a ＝2aより, ABはy＝2ax＋8a,
4－(－2)
　これに(3,7)を代入して,7＝2a×3＋8aで, a＝
(2) 直線ABと平行で原点を通る直線がy＝ax2がと原点以外で交わる点をDとするとき,三角形OCDの面積は三角形OCAの面積の何倍になるか。
【解】A(－2,2) B(4,8)より,ABはy＝x＋4
ODはy＝xで,D(2,2)より,△OCD＝△OCA　よって, 1倍
２ 桐朋高校　（Ｒ５年）　★★★ ５ 西大和学園高校　（Ｒ５年）　★★★
　放物線y＝ax2…ア と直線y＝bx＋c…イ は2点A,Bで交わる。
(1) a,b,cの値を求めよ，
【解】アにB(6,12)を代入して, a＝
イにA(－3,3) B(6,12)を代入して, b＝1,c＝6
(2) △APBの面積がy軸によって2等分されるとき,
　① △ACBの面積は△APCの面積の何倍か。
【解】底辺CD共通で,△ACD:△BCD＝1:2
APCD＝△BCDより,△ACB:△APC＝3:1で, 3倍
　② 点Pの座標を求めよ，
【解】①より,BC:PC＝3:1で,Pのx座標は－2
y＝x2に代入して, P(－2,)
(3) 点Qのx座標を求めよ。
【解】△OAB＝27だから,△OQB＝3
OBウと引くと,△ORB＝3で,
　QBはy＝2x－1…ウ
ア＝ウより,x2＝2x－1で, x＝3±√6		 　傾きが2である直線…ア が放物線y＝ax2…イ と2点A,Bで交わる。
(1) 直線ABの式を求めよ。
【解】△OAC＝OC×2＝6より, C(0,6)
傾き2,y切片6となって, y＝2x＋6 …ア
(2) aの値を求めよ。
【解】アにx＝－2を代入して,A(－2,2)
これをイに代入して,2＝(－2)2aで, a＝
(3) 点Pの座標を求めよ。
【解】Pからアの平行線ウを引く
△PAB＝△QABだから,QC:OC＝7:12で,Q(0,)
Pはイウの交点で,x2＝2x＋
　x2－4x－5＝0　x＜0より, P(－1,)
(4) △CPAの回転体の体積を求めよ。
【解】
赤円錐(半径2,高さ4+3)－青円錐(半径,高さ)
π×22×(4＋3)－π×１2×(＋)＝7π
３ 明学東村山高校　（R６年）　★★ ６ 関西学院高等部　（R６年）　★★★
　放物線y＝ax2…アと直線y＝bx＋c…イが2点A(－4,8),B(2,2)で交わっています。
(1) a,b,cの値を求めなさい。
【解】アに(2,2)を代入して,2＝22aで, a＝
イに(－4,8)と(2,2)を代入して
　連立させて解くと, b＝－1, c＝4
(2) 原点Oと2点A,Bを結んでできる△OABの面積
【解】△OAB＝OC×(AとBのx座標差)
△OAB＝×4×(2＋4)＝12
(3) △OABをx軸に関して一回転させてできる立体の体積
【解】△FADの回転体－(△OADの回転体＋△BOFの回転体)
×82π×8－(×82π×4＋×22×4)＝80π		 　放物線y＝2x2…アと直線y＝x＋…イの交点をA,Bとし,放物線上にある点をCとする。点Cのx座標はそのy座標の4倍であるとき。ただし,点Cは原点とは異なる点とする。
(1) 点Cの座標を求めよ。
【解】C(k,4k)として,アに代入すると,
4k＝2k2より,k＝2で, C(2,8)
(2) 点Pが放物線上を点Ａから点Ｂまで動くとき，△ACBと△APBの面積が等しくなるような点Ｐの座標を求めよ。
【解】ABの平行線①(切片6)と②(切片3)を引く
②はy＝x＋3…ウで,アウの交点がP
2x2＝x＋3より,x＝－1,で, P(－1,2) P(,)

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